金磊 发自 凹非寺量子位 | 公众号 QbitAI白鹿 ai换脸

两个高中生发现的勾股定理新证实，咫尺论文来了。

而且就在刚刚，数学大神陶哲轩在看完这篇论文之后评价说念：

前几年传说这个音书时代，还莫得任何实践性的细节证实。但咫尺，（在一些秩序要求下）她们如实发现了至少五个新证实，而且跟任何已有的证实齐不调换。

这两位高中陌生别是Ne’Kiya Jackson和Calcea Johnson。

她们在2022年发现勾股定理新证实的时代，正就读于好意思国新奥尔良的圣玛丽学院（St. Mary’s Academy）。

勾股定理念念必全球齐照旧尽头纯熟了，包括那句耳濡目染的“勾三股四弦五”，以及它的基本公式a2+b2=c2。

固然这个定理照旧有2500多年的历史，但绝不夸张地说，它的焦炙性依然贯串于当代数学之中。

其时她们二东说念主建议新证及时，不错说是在圈内引起了不小的颤动。

因为永久以来，数学家们基本上齐继承代数和几何的设施来证实这个定理。

但她们继承的却是三角学（Trigonometry，基于对角度及边长之间关系的平直推导）这个数学分支来作念证实。

这是特等具有挑战性的一件事情。

因为三角学在很猛进程上即是基于勾股定理，大多数情况下就会导致所谓的“轮回论证”（circular reasoning），即证实经由中偷用了待证的驱散。

早在1927年，数学家Elisha Loomis就曾断言说念：

使用三角学的章程无法完成对勾股定理的证实。

相干词，即是这样一个看似“不可能”的设施，却被两位高中生给打破了。

要知说念，其时跟她俩继承肖似设施作念过证实的，只好2位专科的数学家——Jason Zimba和Nuno Luzia，分离于2009年和2015年建议。

而现如今，二东说念主肃穆在《好意思国数学月刊》公布了论文，把证实经由的细节内容齐亮了出来，也得到了陶哲轩的招供。

更焦炙的是，这篇论文不仅详备先容了五种全新的证实设施，她们还建议了一个系统性的设施，瞻望约略生成至少五种畸形的新证实。

换言之，五个新证实是保底的，也不错达到十个！

其中，只好一个证实是她们在2023年3月参加学术会议时展示过的，另外九个是全新的。

那么她们二东说念主到底是若何作念到，咱们不竭往下看。

三角学证实和三个先决要求

起先，咱们来了解她们二东说念主对三角学证实的解释。

三角学证实是使用三角函数的性质、恒等式和基本定理来证实几何或代数命题的设施。

它频繁诈骗三角函数（如正弦、余弦、正切等）之间的关系，聚会已知的三角恒等式和公式来得出论断。

实践上，正弦和余弦的三角比率是为一个锐角α界说的，通过创建一个直角三角形ABC，其中α是两个锐角之一，然后比拟三条边中的两条的长度：

sinα界说为对边BC与斜边AB的比值，cosα是邻边AC与斜边的比值。

然而，通过测量直角三角形来界说正弦或余弦只对锐角有用，所有这个词其他角度需要一个统统不同的设施。

关于这些角度，她们使用单元圆：

从点(1， 0)开动，向逆时针标的（关于负角是顺时针标的）沿着圆迁徙，直到达到所需的中心角α，最终到达点(x， y)。然后咱们界说cosα = x和sinα = y。

关于一个锐角，这两种设施给出的正弦或余弦函数值是调换的，如图1所示：

但只好第一种设施不错合理地被称为三角学的，第二种设施可能被称为圆的（cyclotopic）会更妥贴一些，如图2所示：

实践上，这两种设施之间的区别意味着，通过余弦定理（咱们从c² = a² + b² − 2abcosγ开动，让γ成为一个直角）来证实勾股定理是一个圆的证实，而不是一个三角学的：

三角学不成贪图一个直角的余弦值，而圆的测量告诉咱们cos(90°) = 0。

相同，使用cos(α − β)的公式（让α = β在恒等式cos(α − β) = cosαcosβ + sinα*sinβ中）来证实勾股定理亦然圆的而不是三角学的，使用sin(α + β)的公式亦然如斯，其中α和β是互补角。

宣称一个证实是三角学的也不错基于其他事理被否定。

举例白鹿 ai换脸，勾股定理最驰名的证实之一使用了相似性△ABC ∼ △ACD ∼ △CBD，如图3所示：由于a/c = x/a和b/c = y/b，有c = x + y = a²/c + b²/c，从而得出a² + b² = c²。

但这个证实不错很容易地被改写为三角学。

由于a/c = x/a = sinα，有x = asinα = (csinα)sinα = csin²α，相同y = ccos²α。然后c = x + y = c(sin²α + cos²α)，从中得出1 = sin²α + cos²α = (a/c)² + (b/c)²，因此a² + b² = c²。

但在这里使用三角学术语并莫得增多任何东西——事实上，它只会使调换的设施愈加复杂——因此不错说这个证实使用了相似三角形，而不是三角学。

更一般地，任何证实a² + b² = c²的证实齐不错通过将csinα写稿a和ccosα写稿b（或者通过重新缩放边a、b和c到sinα、cosα和1）来改写为“三角”证实。

起先证实sin²α + cos²α = 1，之后反向替换sinα = a/c和cosα = b/c以浮现a² + b² = c²。

这种幻觉浮现需要对一个“三角”勾股定理的证实执怀疑作风，这种证实以这种间接的样貌责任（即，起先证实恒等式sin²α + cos²α = 1）以确保“三角学”不单是是使用正弦和余弦术语对边长的无用要重述。

为了确保证实勾股定理的经由不依赖于轮回论证，她们二东说念主在论文中提到了三个先决要求（preliminaries）：

角度加法公式：

角度加法公式主要用于三角函数中的正弦和余弦运算。

关于锐角α、β 和 α+β，正弦和余弦得志以下关系：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ

这些公式不错确保在不依赖勾股定理的情况下，约略对正弦和余弦进行平直贪图，从而保执证实的严谨性和孤苦性。

正弦定理

正弦定理被用于分析某些三角形中边长之间的关系。

正弦定理的中枢是形容了三角形各边的比例关系，当已知两个角和它们的对边时，不错确定第三边的长度。正弦定理表述如下：

这些公式用于接下来的证实中的多个法子，特等是用于联接和贪图不同边长，以便在已知特定角度的情况下得出边长关系。

等腰直角三角形的特殊情况

等腰直角三角形中，两个直角边相称，这种对称性简化了许多贪图。这种特殊三角形的边长关系，平直得出边长得志勾股定理：

因此，关于等腰直角三角形，证实经由变得愈加纵情，因为双方的平淡和平直等于斜边的平淡。

接下来，就到了要害的证实部分。

五至十个勾股定理新证实

为了便于阅读和剖判，这部分咱们将平直放上证实的原文内容（公式委果不太好展示）。

第一个证实

第二个证实

第三个证实

第四个证实

第五个证实

除此除外，论文还对具体设施作念了伸开先容。

二东说念主先是建议了一个她们这项筹谋所要治理的基本问题，即：

我不错用给定的直角三角形△ABC创造出哪些新的直角三角形？

将对新三角形的构造秩序在那些角度为△ABC的三个角度α、β和 90°（即 α+β）的整数倍之和或差的三角形上。

由此，这个问题的谜底变得平直明了。

引理1

a) 若是 △ABC是一个等腰直角三角形（即 α=β=45°），那么所有这个词角度为 α和 β的整数线性组合的三角形齐是等腰直角三角形。

b) 若是在直角三角形 △ABC中 α<β，则存在一个直角三角形，其锐角为 2α和 β−α。此外，关于每一双 {α，β}，2α和 β−α是唯独约略变成直角三角形锐角的 α和 β的整数线性组合。

证实

a) 由于等腰三角形 △ABC的三个角度齐是 45°的倍数，是以任何新三角形的所有这个词角度（这些角度被秩序为 △ABC的角度之和或差）仍然是 45°的倍数，因此咱们得到的三角形必定是一个等腰直角三角形。换句话说，若是咱们从等腰直角三角形开动，那么无法构造出新的三角形。

b) 咫尺假定 α<β。若是新构造的直角三角形中的一个锐角为 mα+nβ（其中 m，n∈Z），则其补角为：

90°−(mα+nβ)=(α+β)−(mα+nβ)=(1−m)α+(1−n)β

若是整数 n和 1−n齐不为零，那么其中一个（假定为 n）是负数，那么将 n替换为 ∣n∣咱们不错看到其中一个角度是 mα−nβ，其中 m>n>0。

然而当 α的度数为 90n/(m+n)时，其补角 β的度数为 90m/(m+n)，这种构造将会产生一个角度 mα−nβ=m⋅90n/(m+n)−n⋅90m/(m+n)=0。

这标明咱们必须有 n=0，即其中一个锐角度数是 mα的某个 m∈N。

若是 m=1，那么咱们浅近地规复了原始三角形 △ABC。若是 m=2，那么咱们得到一个新的直角三角形，其锐角为 2α和 β−α（小心 2α<90°因为 α<45°）。

临了，咱们看到 m≥3是不可能的，因为若是 30°≤α<45°，则不会存在这样的三角形。

咱们的引理信得过地告诉咱们若何寻找勾股定理的证实（关于非等腰直角三角形）：从咱们的原始三角形ABC开动，咱们尽可能多地尝试创建一个新的直角三角形，其角度测量为2α、β − α和90°。

举例，创建一个2α角度的最浅近设施是聚会两个△ABC的副本，如图13所示。

这创造了等腰三角形ABB’，其角度测量为2α、β和β，是以下一步是取其中一个测量为β的角度，并将其休养为测量为β − α或90度的角度。

为了在极点B’处创建一个90度的角度，咱们构建一个射线，使其与BB’成α角度。若是咱们然后延迟边AB以在点D处与射线相交，咱们就得到了咱们第一个证实的图形（图14）。

或者，若是咱们在斜边AB的另一侧创建2α角度，并延迟BC以在点D处与新射线相交，如下所示，咱们得到了平直导致咱们第二个证实的图形（图15）。

而至于另外五种证实设施，感意思的读者不错点击文末连结检察细目哦。

灵感来自一个高中数学竞赛

但除了此次勾股定理的新证实除外，Ne’Kiya Jackson和Calcea Johnson背后的故事亦然值得聊一聊。

在这篇论文的致谢部分中，她们也对此作念了施展。

事情的缘故是二东说念主往时参加的一场高中数学竞赛，其中就有一齐加分题：

创建一种新的勾股定理证实设施，奖励500好意思元。

于是，她们决定各自挑战这说念题目。

相干词，这项任务比她们当先猜想的要贫窭得多，二东说念主破耗了无数个不眠之夜，反复尝试并失败。经过大致一个月的勉力，她们分离完成了我方的证实并提交了功课。

况兼她们的数学老诚Rich合计证实的设施满盈新颖，值得在数学会议上展示。

尽管她们对我方的责任并莫得太大的信心，但如故决定尝试一下。

接下来的两三个月中，二东说念主把所有这个词酣畅时分齐参加到完善和打磨她们的责任中。

她们既孤苦责任也共同合营，不仅在下学后，甚而周末和假期齐在不竭勉力。

在此经由中，在Rich的辅导下，她们创造了更多的证实设施。

尽管她们不确定是否有契机在会议上展示，因为频繁只好专科数学家或偶尔的大学生约略在这样的会议上发言，但她们的高中作品最终如故受到了酷好，并被批准在2023年3月的好意思国数学学会东南分会会议上展示。

Ne’Kiya和Calcea是会议中最年青的与会者和演讲者，固然她们感到尽头焦炙，但念念到这是她们所有这个词勉力的结晶，也让她们有了信心去展示。

她们的演讲取得杰出胜，随后也受到了好意思国数学学会的饱读舞，将其筹谋效果提交给学术期刊。

这对二东说念主来说是最忙碌的任务，因为她们对撰写学术论文毫无栽种。

其时，她们还在妥贴大学生计的多样挑战，比如学习LaTeX代码、完成小组的5页论文、提交实验数据分析等。

但在导师们的辅导下，再加上多量的个东说念主勉力，她们最终完成了论文的撰写。

咫尺回头看这个经由，Ne’Kiya和Calcea在论文中这样写到：

到达这一步对咱们来说并梗阻易，也不是一条直线前进的说念路。咱们莫得任何现成的阶梯图，也不确定责任是否会得到招供。好屡次咱们齐念念撤消，但最终，如故决定坚执到底，完成照旧开动的事情。

而关于这篇论文，陶哲轩也发表了我方的念念法：

这篇论文辅导了咱们，即使是数学中最陈腐和最训练的基础驱散，偶然也不错从一个全新的角度重新疑望。

除此除外，咫尺也有不少的数学家照旧加入到了商议中：

圆善论文放底下了，感意思的小伙伴不错阅读哦~

论文地址：https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240#d1e4959

参考连结：[1]https://mathstodon.xyz/@tao/113391326199704210[2]https://www.sciencedaily.com/releases/2024/10/241028132143.htm